Коронавирус: симуляция, чтобы понять.

Я уже упоминал в первой статье о предмете коронавируса и его прямом и косвенном экономическом воздействии на китайскую экономику.

Цель этой новой статьи – представить результаты небольшой симуляции, которую я провел, чтобы лучше объяснить параметры, контролирующие распространение эпидемии, такие как коронавирус, который находится на пути к превращению в глобальную пандемию.

Прежде всего, я не эпидемиолог и не специалист в области общественного здравоохранения, не говоря уже о микробиологах. Проведенный здесь анализ – это лишь способ популяризации определенных концепций, используемых специалистами для понимания динамики этой эпидемии, которая вспыхнула в Китае в конце 2019 года и в настоящее время приобретает глобальный масштаб. Я настоятельно рекомендую всем заинтересованным лицам ознакомиться с работой экспертов по этим вопросам, в том числе в Университете Джона Хопкинса в США и Имперском колледже в Лондоне.

В своей первой статье я изложил некоторые предпосылки об обособленных моделях, используемых в эпидемиологии, и упомянул ряд недавних статей и исследований о новом коронавирусе (Covid-19) и его распространении в Китае в течение первых двух месяцев этого года, а также о реакции китайских властей.

Я попытался пойти дальше, проведя симуляцию на основе языка программирования R с использованием модели типа SEIR (Susceptible, Exposed, Infected, Recovered).

Я также стремился интегрировать “сетевой эффект”, моделируя число ежедневных контактов в рамках данной группы населения. Этот параметр, являющийся прокси-сервером “плотности населения”, имеет решающее значение для понимания скорости распространения инфекции как функции пространственной конфигурации.

Для этого я использовал библиотеку программ R, содержащуюся в пакете Epimodel, который можно найти на одноименном сайте. Я также интегрировал профиль риска летального исхода, который увеличивается с возрастом людей благодаря функции “наращивания” логистического типа. Наконец, я не учитывал естественную демографическую эволюцию населения, чтобы не сделать модель слишком громоздкой. Но на самом деле это не оказало бы никакого влияния на результаты, учитывая, что мы заинтересованы здесь в развитии эпидемии за короткий период (180 дней).

Вот различные параметры, которые я использовал для калибровки модели:

• Общее количество физических лиц: 1000. Отбираются по выборке на основе равномерного распределения между 1 годом и 80 годами (прямоугольная пирамида населения).
• Количество “активных” ежедневных взаимодействий между индивидуумами: 5
• Количество первоначально инфицированных: 1
• Количество эффективных контактов в день между инфицированным и здоровым человеком при их совпадении в сети: 1 Этот параметр получен косвенным путем, так как по причинам вычислительной способности модели было легче предположить, что в каждом совпадении S-I (Suspected – Infected) было 1/10 контактов в день, а средняя продолжительность такого совпадения составляла 10 дней. Но такое предположение не меняет общей динамики модели в однородной популяции, в которой все индивидуумы имеют одинаковый риск инфицирования.
• Средний инкубационный период вируса (E->I): 6,5 суток (т.е. скорость перехода Эпсилона = 0,15 между Облученным и Зараженным состоянием).
• Средняя продолжительность контагиозной инфекции до выздоровления (I->R): 6,5 дней.
• Средняя вероятность смерти в случае инфицирования (Mu) была установлена на уровне 2%. Вероятность смерти как функция возраста калибровалась как функция распределения логистического закона с ожиданием 0,5 и параметром шкалы 0,1. Это показывает, что максимальная вероятность смерти для наиболее уязвимых, т.е. самых старых, составляет 4%.
• Мы сохранили четыре варианта для базового уровня воспроизводства (R0): 0,9, 1,35, 1,8, 2,25, 1,9, 1,35, 1,8 и 2,25.
• Эти варианты получены путем принятия различных вероятностей заражения при контакте между здоровым человеком и инфицированным человеком (что является результатом различных уровней предосторожности). Мы также могли бы изменить количество контактов. Это имело бы тот же эффект.
• Вероятность инфицирования, умноженная на ожидаемое общее число контактов в пределах совпадений Susceptible-Infected (S-I), дает Beta, т.е. вероятность перехода индивидуума из Susceptible (S) в неинфекционное состояние носителя (E или Exposed).
• Чтобы получить R0, бета-версия должна быть умножена на среднее время перехода из инфицированного состояния в состояние восстановления (R) или в состояние смерти (D). Эта задержка является обратной по отношению к сумме параметров Гамма и Му, т.е. вероятность перехода между инфекционным состоянием (I) и выздоровлением (R) – Гамма или между инфекционным состоянием (I) и смертью (D) – Му.
• R0 = Beta / (Gamma + Mu) в упрощенном случае, когда не учитывается естественная демографическая динамика населения (“естественные” рождаемость и смертность). Тогда эволюция смертности обусловлена только эпидемией.

Действительно, при изучении такого явления, как эпидемия, очень важно рассуждать с точки зрения потоков и сравнивать входящие (S -> E -> I) и исходящие (I -> R или D) потоки. Базовый коэффициент воспроизводства представляет собой синтетический коэффициент, отражающий общую динамику эпидемии путем сопоставления притоков и оттоков. Тем не менее, следует иметь в виду, что этот параметр R0 сам по себе является случайной величиной. Используемая здесь модель предполагает, что некоторые ключевые события, влияющие на R0, такие как вероятность инфицирования здорового индивида и вероятность смерти инфицированного индивида, следуют биномиальному закону. Предполагается также, что лежащие в основе распределения этих событий стабильны во времени и, что более фундаментально, случайные процессы, связанные с этими переменными, являются марковскими. То есть состояние системы во времени t+1 зависит только от ее состояния во времени t и постоянных вероятностей перехода. Более того, сеть взаимодействия между индивидуумами в нашем случае однородна. Мы не выделяем различные группы населения, за исключением возрастного фактора, который влияет только на уровень смертности. Эти ограничения важно учитывать, чтобы понять суть дидактического характера этого упражнения.

Ниже приведены подробные результаты проведенного моделирования с указанием распространенности каждого из состояний (S, E, I, R, D) в любой данный момент времени в общей популяции, начиная с одного инфицированного индивидуума в начале моделирования. Можно отметить, что доля населения, инфицированного вирусом, увеличивается с R0, но распространенность инфекции в общей численности населения остается низкой в связи с быстрым переходом от здорового к зараженному, инфицированному и излеченному состоянию.

Эволюция численности населения различных помещений : S (Уловимый), E (Выраженный), I (Зараженный), R (Восстановленный), D (Погибший)

Мы также показываем количество смертей, полученных в каждом варианте R0. В случае с Ковид-19 несколько исследований и экспертных комментариев, которые мы процитировали в нашей первой статье, показывают, что изначально заявленный властями уровень фатальности в 2% является, вероятно, очень преувеличенным из-за большого количества бессимптомных случаев, которые не были выявлены. В любом случае, наши результаты должны быть прочитаны и интерпретированы только как результат моделирования. Их интерес заключается в сравнении различных сценариев, подчеркивая роль, которую играет учет различных притоков и оттоков в динамике эпидемии. Это позволяет нам взглянуть на непропорционально большое внимание, уделяемое средствами массовой информации количеству вирусных инфекций, в ущерб лучшему пониманию общей динамики эпидемии.

Количество смоделированных смертей в популяции в 1000 человек на каждый базовый репродуктивный показатель при условии, что не будут приняты никакие меры предосторожности для снижения R0.

Ссылки

1. BUTTS, Carter T.. network: A Package for Managing Relational Data in R. Journal of Statistical Software, [S.l.], v. 24, Issue 2, p. 1 – 36, may 2008. ISSN 1548-7660. Available at: <https://www.jstatsoft.org/v024/i02>. 
2. JENNESS, Samuel M.; GOODREAU, Steven M.; MORRIS, Martina. EpiModel: An R Package for Mathematical Modeling of Infectious Disease over Networks. Journal of Statistical Software, [S.l.], v. 84, Issue 8, p. 1 – 47, apr. 2018. ISSN 1548-7660. Available at: <https://www.jstatsoft.org/v084/i08>.