Le Coronavirus est désormais une pandémie qui touche de très nombreux pays. L’Italie détient pour l’instant le record du nombre de cas officiellement déclarés, après la Chine. De nombreux autres pays européens sont déjà entrés ou s’apprêtent à entrer dans “la phase 3” de l’épidémie, c’est à dire la phase de propagation rapide du nombre de cas et de décès.
De grands pays comme les Etats-Unis s’apprêtent eux aussi à connaître une importante poussée épidémique, comme en témoignent les mesures extrêmes et controversées prises par le président Trump, au premier rang desquelles figurent l’interdiction d’entrée sur le territoire américain de toute personne ayant séjourné dans l’espace Shenghen au cours des 14 jours avant leur arrivée sur le sol américain.
Dans cette période de pandémie, de débâcle sur les marchés financiers et de répercussions sérieuses sur l’économie mondiale, les mesures de limitation des contacts prises par les autorités des différents pays (interdiction des rassemblements d’une certaine taille, fermeture d’entreprises et de commerces ..) visent à freiner le plus possible la propagation du virus, pour hâter la sortie de l’épidémie (cas de la Corée et de la Chine) ou, à tout le moins, pour pouvoir y faire face dans de meilleures conditions. Le graphique ci-dessous a été popularisé par de nombreux médias ces derniers jours) et a été utilisé par de nombreux responsables politiques autour de la planète à des fins pédagogiques.
Il est néanmoins important de quantifier plus précisément la dynamique sous-jacente à la propagation du virus. Il y a encore beaucoup d’inconnues à ce niveau. Mais les connaissances qui ont été accumulées par les chercheurs en Chine et partout ailleurs dans le monde permettent déjà de se faire une idée sur certaines caractéristiques de cette pandémie, ainsi que l’expliquent Roy Anderson et al. dans la revue médicale de référence, The Lancet.
On peut aussi se référer à des modèles qui permettent de simuler la propagation d’une maladie infectieuse telles que le Covid-19 au sein d’une population. Nous avons déjà fait référence aux modèles compartimentaux, avec une simulation sur la base d’un modèle SEIR, que nous avons réalisée grâce à la librairie Epidemic codée en langage R. L’objet de cette simulation était d’expliciter l’importance d’un paramètre central utilisé dans ces modèles, à savoir le ratio de reproduction de base, communément appelé R0.
Les équations différentielles qui régissent la dynamique de ces modèles se retrouvent dans les modèles de croissance d’une espèce biologique – il s’agit en l’occurence ici de la population des personnes infectées par le coronavirus – soumise à différentes contraintes. Il s’agit aussi des équations que l’on retrouve dans les modèles “proies-prédateurs” des mathématiciens Alfred Lotka et Vito Volterra, dites équations de Volterra-Lotka. L’ancêtre de ces modèles a été développé par le mathématicien belge Pierre-François Verhulst au XIXème siècle, sur la base des travaux de Malthus. Il s’agit en fait de l’application d’une fonction de croissance logistique – une sigmoïde – à la croissance d’une population donnée, en fonction d’un “facteur de charge” qui évoque les contraintes en termes de ressources auxquelles est soumise cette population au fur et à mesure de son expansion. Soit dit en passant, le modèle de Verhulst est aussi l’une des sources d’inspiration majeures de toute la pensée écologiste contemporaine. Verhulst a ainsi affiné les intuitions de Malthus et les a formalisées de manière plus juste sur le plan mathématique. Le rapport sur les “Limites de la croissance” ou Rapport Meadows, publié en 1972 par le Club de Rome, s’inspire directement de ces travaux.
On doit au physiologiste F.J Richards une généralisation du modèle de Verhulst, à travers une famille de fonctions qui permettent de prendre en compte l’allométrie, c’est à dire la croissance différenciée de certains organismes biologiques – il s’agissait en l’occurence de plantes dans l’article originel de Richard publié en 1959 -, sous l’effet de l’interaction entre différentes variables structurelles et environnementales.
Quel rapport avec le coronavirus me direz-vous ?
Hé bien, le modèle de Richards a été transposé dans les années 2000 à l’épidémiologie mathématique et a été utilisé depuis lors avec succès pour prédire notamment l’évolution du SRAS, de la grippe H1N1 ou encore du MERS-COV – entre autres épidémies qui ont fait beaucoup parler d’elles. Le modèle de Richards a systématiquement “surperformé” les autres modèles utilisés pour prévoir l’évolution du nombre de cas infectés. L’un de ses atouts majeurs est sa simplicité et la facilité à interpréter ses différents paramètres, et à les relier à des concepts compréhensibles d’un point de vue opérationnel.
En effet, la fonction logistique classique que l’on retrouve dans le modèle de Verhulst ne permet pas de pondérer le facteur de charge, compris ici comme le seuil maximal de propagation de l’épidémie, par différentes variables – on parle de prédicteurs continus et de facteurs de catégorie – qui influent sur la dynamique du modèle. On peut uniquement faire varier la vitesse de convergence vers le pic, exprimé en termes asymptotiques. Sur la base de travaux mathématiques antérieurs (Von Bertanlanffy), le modèle de Richards permet quant à lui, à travers l’ajout d’un paramètre de type “loi de puissance” à la dynamique exponentielle de la fonction logistique de base, de faire varier la forme de la courbe, et non plus simplement l’échelle ou le taux de croissance exponentiel initial (quand N est faible on a bien une fonction exponentielle avec un taux r, ce qui peut prêter à confusion, voire susciter une certaine panique, mais plus N augmente et plus la fonction de croissance logistique s’écarte de la fonction exponentielle).
C’est ce paramètre de forme, que nous appellerons ici beta, – suivant en cela les présentations les plus canoniques du modèle de Richards -, qui est d’une importance capitale pour mesurer la déviation par rapport à la “trajectoire naturelle” de propagation de l’épidémie. Lorsque ce paramètre est égal à l’unité, on retrouve la courbe de croissance logistique classique avec une valeur au point d’inflexion qui est égale à la moitié du pic asymptotique. Plus le paramètre beta se rapproche de zéro et plus le point d’inflexion de la courbe est bas par rapport au pic (c’est à dire dans notre cas le nombre maximal de cas cumulés) comme le montre le graphique ci-dessous.
Dès lors que l’on a atteint ce point d’inflexion et que l’on a estimé le paramètre beta sur la base des données empiriques – ce qui n’est pas toujours très évident à faire surtout en début de propagation de l’épidémie, car on dispose de peu d’information sur la forme finale de la courbe – on peut en déduire facilement le pic de l’épidémie.
Ce modèle permet aussi d’évaluer l’impact des actions prises par différents gouvernements pour enrayer ou du moins pour freiner la propagation d’un virus tel que le Covid-19.
Nous avons appliqué ces hypothèses à l’Italie au 13/03/2020. Pour être honnête, les données actuellement disponibles ne permettent pas d’estimer le pic de l’épidémie dans ce pays. En effet, les résultats de la régression montrent que seul le taux de croissance est significatif au sens statistique du terme. Le facteur de charge correspondant au pic de l’épidémie ne l’est pas quels que soient les algorithmes d’optimisation utilisés (cf. résultats ci-dessous). Néanmoins, nous pouvons constater l’impact pour un même plafond de l’étalement de la courbe associée à un béta de 0,5 par rapport à une courbe logistique classique.
Par contraste, pour la Corée du Sud, pays où l’épidémie du Coronavirus a déjà franchi le pic journalier de nouveaux cas enregistrés et a sensiblement reflué depuis lors, on peut voir que la diffusion de l’épidémie suit bien une courbe logistique classique (beta = 1). Les résultats sont significatifs, statistiquement parlant, tant pour le pic de l’épidémie que pour le taux d’accroissement (désigné ici par mumax). Il semble que dans ce pays, les autorités ont procédé différemment. Elles n’ont pas cherché à retarder le pic de l’épidémie. Elles ont réussi à la contenir par des mesures beaucoup plus ciblées, en agissant rapidement à travers une campagne de tests individuels à une échelle massive, qu’aucun autre pays au monde n’a pu mettre en place pour le moment.
Au final, l’importance de réaliser des tests à grande échelle et de disposer de l’infrastructure logistique nécessaire pour cela est peut-être l’une des grandes leçons de cette pandémie, qu’il faudra tirer à l’avenir pour ne pas avoir à gérer des situations qui peuvent devenir incontrôlables ou qui peuvent imposer des coûts économiques très significatifs et que l’on pourrait peut-être éviter par des politiques mieux ciblées.
Italie : une simulation de la propagation du Coronavirus avec deux valeurs de beta
Corée du Sud : une courbe logistique parfaite
